Chapitre 19 : Polynômes et Fractions rationnelles

Dans ce chapitre, nous introduisons les notions fondamentales liées aux polynômes et aux fractions rationnelles, qui constituent des outils essentiels en algèbre et en analyse. Après avoir défini les opérations usuelles sur les polynômes — somme, produit, composition et division euclidienne — nous étudions leurs principales propriétés algébriques ainsi que les notions de divisibilité et de racine d’un polynôme.

Le chapitre est également consacré à l’étude détaillée des racines et des factorisations des polynômes, aussi bien dans \(\mathbb{R}[X]\) que dans \(\mathbb{C}[X]\). Nous abordons notamment les notions de multiplicité, de polynômes irréductibles ainsi que le théorème de d’Alembert-Gauss. Une attention particulière est portée aux liens entre les polynômes et leurs dérivées, à travers la formule de Leibniz, la formule de Taylor polynomiale et les critères de multiplicité des racines.

Enfin, nous introduisons les fractions rationnelles et leur décomposition en éléments simples dans des cas classiques. Ces outils permettent de simplifier de nombreux calculs et trouvent des applications importantes dans les calculs de primitives, de dérivées ainsi que dans l’étude des fonctions numériques.

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