Chapitre 17 : Développments Limités

Dans ce chapitre, nous introduisons les outils fondamentaux du calcul asymptotique et des développements limités, aussi bien dans le cadre des suites que des fonctions réelles ou complexes. Nous étudions les différentes relations de comparaison (domination, négligeabilité et équivalence ) ainsi que leurs propriétés et leurs règles de manipulation, afin de mieux comprendre le comportement asymptotique des fonctions et des suites.

Le chapitre est également consacré à l’étude des développements limités, à leur construction et à leurs principales opérations. Après avoir présenté les développements limités usuels et la formule de Taylor-Young, nous abordons leur utilisation dans le calcul de limites, l’étude locale des fonctions, la recherche d’asymptotes ainsi que l’analyse de la position relative d’une courbe et de sa tangente.

Enfin, nous appliquons les développements limités et les équivalents à plusieurs situations classiques de l’analyse : prolongement par continuité, étude des extremums locaux, suites récurrentes, fonctions réciproques et calculs asymptotiques variés. Une attention particulière est portée à l’aspect pratique et technique des méthodes étudiées à travers de nombreux exemples et exercices.

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