Chapitre 16 : Dérivabilité

Dans ce chapitre, nous introduisons la notion de dérivabilité des fonctions réelles ainsi que les principaux outils associés à l’étude locale et globale des fonctions. Après avoir défini le nombre dérivé à l’aide du taux d’accroissement, nous étudions les interprétations géométriques et cinématiques de la dérivée, notamment la tangente au graphe et la notion de vitesse instantanée.

Le chapitre présente ensuite les principales opérations sur les fonctions dérivables ainsi que les théorèmes fondamentaux de l’analyse différentielle, tels que le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis. Ces résultats permettent d’étudier les variations, les extremums, les inégalités ainsi que l’existence de zéros d’une fonction. Une attention particulière est également portée aux fonctions lipschitziennes et à leurs applications.

Enfin, nous abordons les dérivées d’ordre supérieur et les fonctions de classe \(C^k\), ainsi que les propriétés de monotonie et de convexité associées à la dérivation. Le chapitre se termine par une extension des définitions et résultats étudiés au cas des fonctions à valeurs complexes.

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