Chapitre 15 : Continuité

Dans ce chapitre, nous introduisons la notion fondamentale de continuité des fonctions réelles, d’abord en un point puis sur un intervalle. Nous étudions les différentes caractérisations de la continuité, notamment la continuité à gauche, à droite ainsi que la caractérisation séquentielle. Le chapitre présente également les principales opérations conservant la continuité : combinaisons linéaires, produit, quotient et composition de fonctions continues.

Nous abordons ensuite plusieurs théorèmes fondamentaux de l’analyse, en particulier le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème des bornes atteintes, ainsi que leurs conséquences importantes sur l’image des intervalles et des segments par une fonction continue. Une attention particulière est accordée au calcul approché des zéros d’une fonction continue à l’aide de la méthode de dichotomie.

Enfin, nous étudions les liens entre continuité et stricte monotonie, notamment l’existence et la continuité de la fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone. Le chapitre se termine par une extension des définitions et résultats étudiés au cas des fonctions à valeurs complexes.

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